Question

【题目】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＋∠EAD＝180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE，CD，F为BE的中点，连接AF.

(1)如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF；

(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论仍成立，理由见解析.

【解析】

（1）因为AF是直角三角形ABE的中线，所以BE=2AF，然后通过△ABE≌△ACD即可求得．

（2）延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，证出△ABH≌△ACD从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，即可求得．

（1）如图①．

∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°．

在△ABE与△ACD中，

∵，

∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD=BE．

∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF，∴CD=2AF．

（2）成立．理由如下：

如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD．

∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°．

∵∠EAB+∠BAH=180°，∴∠DAC=∠BAH．

在△ABH与△ACD中，∵，

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴BH=DC．

∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH．

∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．