Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于点E，BE=AE，AD是∠BAC的角平分线，和BE相交于点P，和BC边交于点D，点F是AB边的中点，连结EF，交AD于点Q，连结BQ．
（1）求证：△BCE≌△APE；
（2）求证：BD=$\frac{1}{2}$AP；
（3）判断△BDQ的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求出∠AEP=∠BEC=90°，根据三角形内角和定理求出∠EBC=∠EAP，根据ASA推出△BCE≌△APE即可；
（2）根据全等得出BC=AP，根据等腰三角形的性质得出BD=$\frac{1}{2}$BC，即可求出答案；
（3）根据线段垂直平分线的性质求出AQ=BQ，求出∠BAE=45°，根据角平分线的定义求出∠BAD=∠ABQ=22.5°，根据三角形外角性质求出∠BQD=45°，即可得出答案．

解答 证明：（1）如图：

∵AD是∠BAC的角平分线，AB=AC，
∴∠BDP=90°，BD=CD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEP=∠BEC=90°，
∵在△BPD和△APE中，∠AEP=∠BDP=90°，∠BPD=∠APE，∠PAE+∠PEA+∠APE=180°，∠BDP+∠BPD+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠EAP，
在△BCE和△APE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠EAP}\\{BE=AE}\\{∠BEC=∠AEP}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△APE；

（2）∵△BCE≌△APE，
∴BC=AP，
∵BD=CD，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$AP；

（3）△BDQ是等腰直角三角形，
证明：∵BE=AE，F是AB的中点，
∴EF是线段AB的垂直平分线，
∴AQ=BQ，
∴∠BAQ=∠ABQ，
∵BE=AE，∠BEA=90°，
∴∠BAE=45°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=22.5°，
∵∠BAD=∠ABQ，
∴∠BAD=∠ABQ=22.5°，
∴∠BQD=22.5°×2=45°，
∵∠ADB=90°，
∴△BDQ是等腰直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等．