Question

5．如图，E是正方形ABCD中CD边上的任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得△ABE₁，∠EAE₁的平分线交BC边于点F，求证：△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半．

Answer 1

分析 根据旋转性质得出AE=AE₁，BE₁=DE，求出BE₁+CF=DE+CF=CD，根据SAS推出△E₁AF≌△EAF，根据全等三角形的性质得出EF=E₁F，即可求出答案．

解答 证明：∵把△ADE顺时针旋转90°得△ABE₁，
∴AE=AE₁，BE₁=DE，
∴BE₁+CF=DE+CF=CD，
∵∠EAE₁的平分线交BC边于点F，
∴∠E₁AF=∠EAF，
在△E₁AF和△EAF中
$\left\{\begin{array}{l}{A{E}_{1}=AE}\\{∠{E}_{1}AF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△E₁AF≌△EAF（SAS），
∴EF=E₁F=BF+DE，
∴△CFE的周长=CE+CF+EF=CE+CF+BF+DE=CD+BC=正方形ABCD的周长的一半．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能求出△E₁AF≌△EAF是解此题的关键．