Question

2．观察下列等式，然后解决问题：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}-\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$，$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$．
（1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$（n≥1，且n为正整数）；；
（2）利用上述规律，求下列式子的值：
（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$）（$\sqrt{2016}+1$）

Answer 1

分析 （1）观察已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）根据得出的规律将原式化简，合并即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$（n≥1，且n为正整数）；
故答案为：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$（n≥1，且n为正整数）；
（2）原式=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$）（$\sqrt{2016}$+1）=（$\sqrt{2016}$-1）（$\sqrt{2016}$+1）=2016-1=2015．

点评 此题考查了分母有理化，弄清题中的规律是解本题的关键．