Question

3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函双y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的阳象交于点c（n，3），与x轴、y轴分别交于点A、B，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，若tan∠CAM=$\frac{3}{4}$，OA=2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点D是反比例函数图象在第三象限部分上的一点，且到x轴的距离是3，连接AD、BD，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数求得AM的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法求得反比例函数解析式，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．

解答 解：（1）∵在直角△ACM中，tan∠CAM=$\frac{CM}{AM}$=$\frac{3}{4}$，CM=3，
∴AM=4，
∴OM=AM-OA=4-2=2．
∴n=2，
则C的坐标是（2，3）．
把（2，3）代入y=$\frac{m}{x}$得m=6．
则反比例函数的解析式是y=$\frac{6}{x}$；
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
则一次函数的解析式是y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$；
（2）在y=$\frac{6}{x}$中令y=-3，则x=-2．
则D的坐标是（-2，-3）．
AD=3，
则S_△ABD=$\frac{1}{2}$×3×2=3．

点评 本题考查了用待定系数法求出一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生能否运用这些性质进行计算，本题具有一定的代表性，是一道不错的题目，数形结合思想的运用．