题目内容
6．（1）已知如图（1），求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）利用（1）的结论，解答下列问题：
①如图（2），将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．若∠A=55°，则∠ABD+∠ACD=35°；
②如图（3），∠BOC=70°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
③如图（4），∠ABD、∠ACD的10等分线分别相交于点G1、G2、…、G9，∠BDC=150°，∠BG1C=69°，试求∠A的度数．
分析 （1）根据三角形内角和定理及内角和外角的关系解答；
（2）①根据三角形的内角和即可得到结论；②根据三角形内角和定理及内角和外角的关系解答即可；③由角平分线的性质可得：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∠BG1C=∠A+∠ABG1+∠ACG1，而∠ABD，∠ACD 的10等分线相交于点G1、G2…、G9，则∠ABG1=$\frac{1}{10}$∠ABD，∠ACG1=$\frac{1}{10}$∠ACD，所以10∠BG1C=10∠A+∠ABD+∠ACD，利用等式的性质得到10∠BG1C-∠BDC=9∠A，进而可求出∠A的度数．
解答 
（1）证明：延长BD交AC于点E，
∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠BEC=∠A+∠B，
∵∠BDC是△CED的外角，
∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B；
（2）①解：在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
而∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°；
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，
而∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A=35°；
故答案为：35°；
②∵∠BOC=70°，
∴∠BOF=∠EOC=110°，
由（1）知∠BOF=∠D+∠B+∠F，∠COE=∠A+∠C+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOF+∠EOC=220°；
③∵∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∠BG1C=∠A+∠ABG1+∠ACG1，
而∠ABD，∠ACD 的10等分线相交于点G1、G2…、G9，
∴∠ABG1=$\frac{1}{10}$∠ABD，∠ACG1=$\frac{1}{10}$∠ACD，
∴10∠BG1C=10∠A+∠ABD+∠ACD，
∴10∠BG1C-∠BDC=9∠A，
∴∠A=$\frac{1}{9}$（10×69°-150°）=60°．
点评 此题考查了三角形内角和定理和三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
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