Question

4．已知实数a，c满足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=1，2a+c-ac+2＞0，二次函数y=ax²+bx+9a经过点B（4，n）、A（2，n），且当1≤x≤2时，y=ax²+bx+9a的最大值与最小值之差是9，求a的值．

Answer 1

分析 根据题意求得a＞-2，b=-6a，得出y=a（x-3）²，然后根据当1≤x≤2时，y=ax²+bx+9a的最大值与最小值之差是9，列出方程，解方程即可求得．

解答 解：∵实数a，c满足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=1，
∴c-ac=-a，
∵2a+c-ac+2＞0，
∴2a-a+2＞0，
∴a＞-2，
∵二次函数y=ax²+bx+9a经过点B（4，n）、A（2，n），
∴-$\frac{b}{2a}$=$\frac{4+2}{2}$=3，
∴b=-6a，
∴y=ax²+bx+9a=a（x²-6x+9）=a（x-3）²，
∵当1≤x≤2时，y=ax²+bx+9a的最大值与最小值之差是9，
∴|4a-a|=9，
∴a=3．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，求得a的取值范围以及根据题意列出方程是解题的关键．