Question

9．已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，且∠MAN的两边分别交BC、DC于点M、N．试猜想线段BM、DN和MN之间的数量关系，写出猜想，并加以证明．

Answer 1

分析 延长CB到E，使BE=DN，连接AE，根据SAS证△ABE≌△ADN，推出AE=AN，∠DAN=∠BAE，求出∠NAM=∠MAE，根据SAS证出△NAM≌△EAM，从而得到BM+DN=MN．

解答 解：BM+DN=MN．
理由：如图，延长CB至E使得BE=DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，
在△ADN和△ABE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABE}\\{DN=BE}\end{array}\right.$，
△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠EAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△EAM≌△NAM，
∴MN=ME，
∵ME=BM+BE=BM+DN，
∴BM+DN=MN．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握此类问题辅助线的作法是解题的关键．