Question

如图，抛物线与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线于点C；

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求点A关于直线的对称点的坐标，判定点是否在抛物线上，并说明理由；

（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

解：（1）∵与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，

∴，   解得

∴抛物线的解析式为

（2）过点作⊥x轴于E，AA^/与OC交于点D，

∵点C在直线y=2x上，    ∴C（5，10）

∵点A和关于直线y=2x对称，

∴OC⊥，=AD.

∵OA=5，AC=10,

∴.

∵,   ∴.∴.

在和Rt中，

∵∠+∠=90°，∠ACD+∠=90°，

∴∠=∠ACD.

又∵∠=∠OAC=90°，

∴∽.

∴即.

∴=4，AE=8.

∴OE=AE－OA=3.

∴点A^/的坐标为（﹣3,4）.

当x=﹣3时，.

所以，点A^/在该抛物线上

（3）存在.

理由：设直线的解析式为y=kx+b,

则，解得

∴直线的解析式为.

设点P的坐标为，则点M为.

∵PM∥AC，

∴要使四边形PACM是平行四边形,只需PM=AC.又点M在点P的上方，

∴ .

   解得（不合题意,舍去）当x=2时，.

∴当点P运动到时，四边形PACM是平行四边形.