Question

某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线y=

1

100

x2的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．

（1）如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？
（2）如图2，若在一个坡度为1：5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．
①求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？
②这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？

Answer 1

考点：二次函数的应用,解直角三角形的应用-坡度坡角问题

专题：数形结合

分析：（1）因为水平距离间隔80米，说明最低点的横坐标为40，代入y=

1

100

x2，求出高度，加上6即可；
（2）以点A为原点建立坐标系，设抛物线的顶点为M，作MF⊥CD，交DE于点G，交CD于点F，首先根据题意，设出抛物线的解析式为y=

1

100

x²+bx，把B（50，10）代入，可求出抛物线的解析式，根据其性质，可得出顶点的坐标M（15，-2.25），求得MF，根据坡度1：5，可求得GF的长，即可求出MG的长，即下垂的电缆与地面的最近距离；

解答：解：（1）y=

1

100

×40²=16，
16+6=22米；
固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度．
（2）如图，以点A为原点，建立坐标系，
∵斜坡的坡度为1：5，CD=50m，
∴CE=10m，
∴点B的坐标为（50，10），
设抛物线的解析式为y=

1

100

x²+bx，
∴10=

1

100

×2500+50b，
解得，b=

3

10

，
∴抛物线的解析式为y=

1

100

x²-

3

10

x=

1

100

（x-15）²-2.25，
∴设抛物线的顶点为M，则M（15，-2.25），作MF⊥CD，交DE于点G，交CD于点F，
∴MF=20-2.25=17.75m，
又∵DF=15m，
∴FG=

1

5

DF=3m，
∴MG=MF-FG=17.75-3=14.75m；
即下垂的电缆与地面的最近距离为14.75m．

点评：本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用，应熟练运用二次函数的性质求最值．