Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，O是AB的中点，D是AC边上的一动点，过B作BE∥AC，交DO的延长线于点E．
（1）求证：四边形ADBE是平行四边形；
（2）当DE⊥AB时，求DE的长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由BE∥AC，O是AB的中点，易证得△AOD≌△BOE，即可得OD=OE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得四边形ADBE是平行四边形；
（2）首先由DE⊥AB，可得AD=BD，然后设AD=BD=x，由勾股定理可求得x的值，然后由勾股定理求得OD的长，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵BE∥AC，
∴∠OAD=∠OBE，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB，
在△OAD和△OBE中，

∠OAD=∠OBE OA=OB ∠AOD=∠BOE

，
∴△AOD≌△BOE（ASA），
∴OD=OE，
∴四边形ADBE是平行四边形；

（2）解：∵OA=OB，DE⊥AB，
∴AD=BD，
设AD=BD=x，则CD=AC-AD=8-x，
∵∠C=90°，BC=6，
∴AB=

AC2+BC2

=10，（8-x）²+6²=x²，
解得：x=

25

4

，
即AD=

25

4

，
∵OA=

1

2

AB=5，
∴OD=

AD2-OA2

=

7 5

4

，
∴DE=2OD=

7 5

2

．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．