Question

已知抛物线 经过A（2，0）． 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求b的值和点P、B的坐标；
（2）如图，在直线上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）顶点P的坐标为（4，-2）点B的坐标是（6，0）. （2）存在；D点的坐标为（2,2）（3）可通过证明AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP，证明△AMP≌△AMB.

试题分析： 解：（1）∵抛物线经过A（2，0），
∴，         
解得，
∴抛物线的解析式为. 
将抛物线配方，得，
∴顶点P的坐标为（4，-2）.          
令y=0，得，解得.
∴点B的坐标是（6，0）.      
（2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形.
理由如下：设直线PB的解析式为+b，把B（6,0）,P(4,-2)分别代入，得 
解得 
∴直线PB的解析式为.       
又∵直线OD的解析式为，∴直线PB∥OD.
解法一：设直线OP的解析式为，把P(4,-2)代入，得，解得.
如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形.     
设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得0=，
∴        
∴直线BD的解析式为，解方程组得
∴D点的坐标为（2,2）    
解法二：过点P作x轴的垂线，垂足为点C，则PC=2，AC=2，
由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又∵AB=4，∴△APB是等边三角形∠PBA=∠DOB=60°,
设点D的坐标为（，），得=,
∴D点的坐标为（2,2）
（3）符合条件的点M存在.            
验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为点C，则PC=2，AC=2，
由勾股定理，可得AP=4，PB=4，      
又∵AB=4，∴△APB是等边三角形，作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP，             
∴△AMP≌△AMB.
因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.            

点评：本题难度较大，主要考查学生对一次函数和抛物线综合运用解决几何问题的能力，为中考常考题型，注意培养数形结合思想分析能力，并运用到考试中去。