Question

如图，半圆中，将一块含的直角三角板的角顶点与圆心重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于两点（点在内部），与交于点,与交于点.

(1)求的度数;
(2)若是的中点，求的值;
(3)若,求的长.

Answer 1

（1）证明见解析；(2) ;

试题分析：（1）连接AC，根据直径所对的圆周角为直角可知,根据圆周角定理可知，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得到,在直角三角形再根据直角三角形内角和定理可知=；(2)根据点C是弧AD的中点，及半径的性质，可以得到，得到角的性质可知，所以的到比例线段；（3）结合前面两问的结论，可以首先证明两个三角形相似，然后结合直角三角形的勾股定理可以求得线段长.
试题解析：解 （1）如图，连接.
 是直径，
,
,
,
，
（2） 是的中点，是半径，
,
,
,
即,

即 (或) ；
（3） 连接，过点作的垂线，垂足为,
设，
则 
在中，,
，
 ,,
∽,
,
即,
在中，由勾股定理，,
即，
即，
解得：（不合题意，舍去），，
.