Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E．

（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；

（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；

（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴, BC=．   

∵BD平分∠ABC，

∴.                                                                         

∴DA=DB．

 ∵DE⊥AB于点E．

∴AE=BE=．

∴BC=BE.  

∴△BCE是等边三角形.  

（2）结论：AD = DG＋DM．

 （3）结论：AD = DG－DN．

理由如下：

延长BD至H，使得DH＝DN .  

     由（1）得DA=DB，．

∵DE⊥AB于点E．

∴．

∴．

∴△NDH是等边三角形．

∴NH=ND，．

∴．

∵,

∴.

即.

在△DNG和△HNB中，