Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们把经过同一点的所有直线称为过这一点的直线束，如下图，所有经过点P的直线，称为过点P的直线束．

例如：直线y＝kx，当k取不同实数时，在图象上可以得到过原点（0，0）的直线束，这个直线束的一般表达式为y＝kx．

（1）当k取不同实数时，y＝kx﹣3是过点（　 　，　 　）的直线束；

（2）当k取什么实数时，直线束y＝kx﹣3中的直线与x轴、y轴围成的三角形面积为3？

（3）当k取什么实数时，直线束y＝kx﹣2k+3中的直线与x轴、y轴围成的三角形面积为12？

Answer 1

【答案】（1）（0，﹣3）；（2）当k取或﹣时，直线束y＝kx﹣3中的直线与x轴、y轴围成的三角形面积为3；（3）当k＝或k＝﹣时，直线束y＝kx﹣2k+3中的直线与x轴、y轴围成的三角形面积为12．

【解析】

（1）当x=0时，y=-3，可以确定y=kx-3是过点(0,-3)的直线束；
（2）中分别求出直线束与x轴、y轴的交点坐标，再由直线与坐标轴围成的三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积求法，列出相应的等式，进而求出满足条件的值；

（3）和（2）方法相同．

解：（1）∵y＝kx﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，

∴直线y＝kx﹣3恒经过点（0，﹣3），

∴当k取不同实数时，y＝kx﹣3是过点（ 0，﹣3）的直线束，

故答案为（0，﹣3）；

（2）在y＝kx﹣3中，令y＝0，则x＝；令x＝0，则y＝﹣3，

∴直线束y＝kx﹣3中的直线与x轴、y轴的交点为（，0），（0，﹣3），

∵围成的三角形面积为3，

∴||×3＝3，

解得：k＝±，

∴当k取或﹣时，直线束y＝kx﹣3中的直线与x轴、y轴围成的三角形面积为3；

（3）在直线束y＝kx﹣2k+3中，令y＝0，则x＝；令x＝0，则y＝﹣2k+3，

∴直线束y＝kx﹣2k+3中的直线与x轴、y轴的交点为（，0），（0，﹣2k+3），

∵围成的三角形面积为12，

∴||·|﹣2k+3|＝12，

当k＞0时，4k2﹣36k+9＝0，

∴k＝，

当k＜0时，4k2+12k+9＝0，

∴k＝﹣；

综上所述：当k＝或k＝﹣时，直线束y＝kx﹣2k+3中的直线与x轴、y轴围成的三角形面积为12．