Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x、y轴于点A、B，抛物线经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点.

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；

（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标.

Answer 1

【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为；（2）P的坐标为或；（3）点P的横坐标为3或.

【解析】

（1）先利用一次函数求出A,B两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）分两种情况：若，则；若，则，分情况进行讨论即可；

（3）分两种情况，和，分情况进行讨论即可.

（1）令 时，，

∴ ，

令 时，，解得，

∴ ，

将点A,B代入中得

解得

∴抛物线对应的函数表达式为.

（2）设 ，

若，则 ，

此时P点的纵坐标与B点的纵坐标相同，

∴，

解得（舍去）或，

∴，

若，则 ，作PQ⊥OB于点Q，

，

，

，

，

∵，，

∴ ， ，

即，

解得（舍去）或

∴

综上所述，P的坐标为或.

（3）若,过点B作BC∥OA交PQ于点C，过点P作PD⊥OB于点D

∵BC∥OA

∴

设

∴

解得（舍去）或

∴

若，如图，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ=∠OEF，

设点，则，

，

，

，

，

则有，

，

，

，

即，

，

，

化简得：，即，

解得：（舍去），.

综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或.