Question

【题目】如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，顶点D的坐标为（2，﹣）；

（2）存在，C坐标为：（4，0）或（﹣4，0），（5+，0）或（5﹣2，0），（，0），

【解析】

（1）根据抛物线的顶点D的横坐标为2，可设抛物线的解析式为，再将点A和B的坐标代入即可得；

（2）先求出AB的长，然后分哪两条边为等腰的腰，设点C的坐标为，根据两腰相等，利用两点之间距离公式建立等式，求解即可.

（1）抛物线的顶点D的横坐标为2，可设抛物线的解析式为：

将代入得

解得：

则抛物线的解析式为：（或写成一般形式）

由顶点式可得顶点D的坐标为；

（ 2）设点C坐标

因

则

①当时，则

解得：，即点C坐标为：或

②当时，则

解得：，即点C坐标为或

③当时，则

解得：，即点C坐标为

综上，存在这样的点C，点C的坐标为或或或或.