Question

【题目】如图1，正△ABC中，点D为BC边的中点，将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，点P为线段A′C上的一点，连接PD与B′C、AC分别交点点E、F，且∠PAC=∠EDC．

（1）求证：AP=2ED；

（2）猜想PA和PC的位置关系，并说明理由；

（3）如图2，连接AD交B'C于点G，若AP=2，PC=4，求AG的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）PA⊥PC.（3）-．

【解析】

（1）易证得△CDE∽△CAP，得到，即可证得结论；

（2）先证得A、D、C、P四点共圆，即可证得AC是共圆的直径，根据圆周角定理看证得∠APC=90°；
（3）根据勾股定理求得等边三角形ABC的边长，由（1）的结论求得DE=1，根据勾股定理求得EC，然后通过证得△EDG∽△ECD，得到，进而即可求得AG的长．

（1）证明：∵将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，

∴∠DCE=∠ACP，

∵∠PAC=∠EDC，

∴△CDE∽△CAP，

∴=，

∵△ABC 是等边三角形，

∴BC=AC，

∴点D为BC边的中点，

∴CD=BC=AC，

∴==，

∴AP=2ED；

（2）解：PA⊥PC，

理由：连接AD，如图1，

∵△ABC是等边三角形，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∵∠PAC=∠EDC，

∴A、D、C、P四点共圆，

∵∠ADC=90°，

∴AC是共圆的直径，

∴∠APC=90°，

∴PA⊥PC；

（3）解：如图2，

∵AP=2，PC=4，∠APC=90°，

∴AC==2，

∴DC=AC=，AD=AC=

∵AP=2ED，

∴ED=1，

∵△CDE∽△CAP，

∴∠CED=∠APC=90°，

∴CE==2，

∵∠EDG+∠EDC=90°∠EDC+∠ECD=90°，

∴∠EDG=∠ECD，

∵∠CED=∠DEG=90°，

∴△EDG∽△ECD，

∴=，

∴GD===，

∴AG=AD-GD=-．