Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴负半轴交于B，与正半轴交于点C（8，0），且∠BAC=90°．
（1）求该二次函数解析式；
（2）若N是线段BC上一动点，作NE∥AC，交AB于点E，连结AN，当△ANE面积最大时，求点N的坐标；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S．问：是否存在一个S的值，使得相应的点P有且只有2个？若有，求出这个S的值，并求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由射影定理可得出B点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用NE∥AC，则△BNE∽△BAC，得出

S△BEN

S△BAC

=（

BN

BC

）²，由S_△ANE=S_△BAN-S_△ANE，进而利用二次函数最值求法得出即可；
（3）过P作x轴的垂线，交AC于Q，交x轴于H；设出点P的横坐标（设为m），根据抛物线和直线AC的解析式，即可表示出P、Q的纵坐标，从而可得到PQ的长，然后分两种情况进行讨论：
①P点在第一象限时，即0＜m＜8时，可根据PQ的长以及A、C的坐标，分别表示出△APQ、△CPQ的面积，它们的面积和即为△APC的面积，由此可得到S的表达式，通过配方即可得到S的取值范围；
②当P在第二象限时，即-2＜m＜0时，同①可求得△APQ、△CPQ的面积，此时它们的面积差为△APC的面积，同理可求得S的取值范围；根据两个S的取值范围，即可判断出所求的结论．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，∠AOC=90°，
∴由射影定理可得出：OA²=OB•OC，
由题意知：OA=4，OC=8，
∴4²=OB•8，
∴OB=2，
∴B（-2，0），
将A、B、C三点坐标代入即得：

c=4 4a-2b+c=0 64a+8b+c=0

，
解得：

a=- 1 4 b= 3 2 c=4

，
∴抛物线解析式为：y=-

1

4

x²+

3

2

x+4；

（2）设N（n，0），则BN=n+2，BA=10，
∵NE∥AC，
∴△BNE∽△BAC，
∴

S△BEN

S△BAC

=（

BN

BC

）²，
∵S_△BAC=

1

2

×10×4=20，
∴

S△BEN

20

=（

n+2

10

）²，
S_△BEN=

1

5

（n+2）²，
∵S_△BAN=

1

2

×（n+2）×4=2n+4，
∴S_△ANE=（2n+4）-

1

5

（n+2）²=-

1

5

（n-3）²+5，
∵a=-

1

5

，
∴当n=3时，最大值S_△ANE=5，
此时N的坐标为：（3，0）；

（3）设直线AC对应的函数解析式为：y=kx+b，
则

b=4 8k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=4

，
∴直线AC对应的函数解析式为：y=-

1

2

x+4，
如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q；
设P（m，-

1

4

m²+

3

2

m+4），则Q（m，-

1

2

m+4）．
①当0＜m＜8时，
PQ=（-

1

4

m²+

3

2

m+4）-（-

1

2

m+4）=-

1

4

m²+2m，
S=S_△APQ+S_△CPQ=

1

2

×8×（-

1

4

m²+2m）=-（m-4）²+16，
∴0＜S≤16；
②当-2＜m＜0时，
PQ=（-

1

2

m+4）-（-

1

4

m²+

3

2

m+4）=

1

4

m²-2m，
S=S_△CPQ-S_△APQ=

1

2

×8×（

1

4

m²-2m）=（m-4）²-16，
∴0＜S＜20；
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，-2＜m＜0中m有一个值，此时有三个；
当16＜S＜20时，-2＜m＜0中m只有一个值；
当S=16时，m=4或m=4-4

2

这两个．
故当S=16时，相应的点P有且只有两个．

点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法等知识，（3）题的解题过程并不复杂，关键在于理解题意．