Question

15．已知：如图，矩形ABCD，E是AB上一点，连接DE，使DE=AB，过C作CF⊥DE于点F．求证：CF=CB．

Answer 1

分析 根据矩形的性质可得出AB=DC，∠A=90°，AB∥CD，AD=CB，再结合CF⊥DE以及平行线的性质即可得出∠A=∠CFD，∠CD F=∠DEA，由此即可证出△DCF≌△EDA（AAS），根据全等三角形的性质即可得出CF=AD，进而得出CF=CB．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=90°，AB∥CD，AD=CB．
∵DE=AB，
∴DE=DC．
∵CF⊥DE，
∴∠CFD=90．
∴∠A=∠CFD．
∵AB∥DC，
∴∠CD F=∠DEA．
在△DCF≌△EDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠A}\\{∠CDF=∠DEA}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△EDA（AAS），
∴CF=AD，
∵AD=CB，
∴CF=CB．

点评 本题考查了矩形的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是证出△DCF≌△EDA（AAS）．本题属于中档题，解决该题型题目时，根据相等的边角关系证出两三角形全等是关键．