Question

圆锥的底面半径为10cm，高为10

5

cm
（1）求圆锥的全面积．
（2）若一只小虫从底面上一点A出发，沿圆锥侧面绕行一周到母线SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离是多少．

Answer 1

考点：平面展开-最短路径问题,圆锥的计算

专题：

分析：（1）首先求得圆锥的母线长，然后求得展开扇形的弧长，进而求得其侧面积和底面积，从而求得其全面积；
（2）将圆锥的侧面展开，求得其展开扇形的圆心角的度数是90°，利用勾股定理求得AM的长即为最短距离．

解答：解：（1）由题意，可得圆锥的母线SA=

AO2+SO2

=10

6

（cm）
圆锥的侧面展开扇形的弧长l=2π•SA=20πcm
∴S_侧=

1

2

L•SA=100

6

πcm²
S_圆=πAO²=100πcm²，
∴S_全=S_圆+S_底=（100

6

+100）π=100（

6

+1）π（cm²）；

（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离
由（1）知，SA=10

6

cm，弧AA′=20πcm
∵

nπ×10 6

180

=20π，
∴∠S=n=60

6

°，
∵SA′=SA=40cm，SM=3A′M
∴SM=30cm，
∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM=50（cm）
所以，蚂蚁所走的最短距离是50cm．

点评：本题考查的是平面展开-最短路径问题，利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等直角三角形的性质求解．难度适中．