Question

11．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=mx²-6mx+5m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，$\frac{AB}{OC}$=$\frac{4}{5}$．
（1）求m的值；
（2）如图2，连接BC，点P为点B右侧的抛物线上一点，连接PA并延长交y轴于点D，过点P作PF⊥x轴于F，交线段CB的延长线于点E，连接DE，求证：DE∥AB；
（3）在（2）的条件下，点G在线段PE上，连接DG，若EG=2PG，∠DPE=2∠GDE时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B两点坐标，再根据条件求出点C坐标，即可解决问题．
（2）如图1中，设P（t，t²-6t+5），想办法求出D、E两点坐标（用t表示），只要纵坐标相同即可证明．
（3）如图3中，在DE上截取一点M，使得DM=MG．设P（t，t²-6t+5）．则PE=t²-5t．，设DM=MG=a，在Rt△MGE中，a²=（t-a）²+[$\frac{2}{3}$（t²-5t）]²，求出a，再根据tan∠DPE=tan∠GME，得$\frac{DE}{PE}$=$\frac{EG}{EM}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=mx²-6mx+5m，
令y=0，得mx²-6mx+5m=0，解得x=1或5，
∴A（1，0），B（5，0），
∴AB=4，
∵$\frac{AB}{OC}$=$\frac{4}{5}$，
∴OC=5，
∴5m=5，
∴m=1．

（2）如图2中，设P（t，t²-6t+5）．

∵OC=OB=5，∠AOB=90°，
∴∠OCB=∠OBC=∠EBF=45°，
∵PE⊥AB于F，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF=t-5，
∴点E坐标（t，5-t），
∵A（1，0），P（t，t²-6t+5），
设直线AP的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{tk+b={t}^{2}-6t+5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=t-5}\\{b=5-t}\end{array}\right.$，
∴D（0，5-t），
∴D、E两点纵坐标相同，
∴DE∥AB．

（3）如图3中，在DE上截取一点M，使得DM=MG．设P（t，t²-6t+5）．则PE=t²-5t．

∵EG=2PG，
∴GE=$\frac{2}{3}$（t²-5t），
∵MD=MG，设DM=MG=a，
∴∠MDG=∠MGD，
∴∠GME=2∠MDG，
∵∠DPE=2∠GDE，
∴∠DPE=∠GME，
∴tan∠DPE=tan∠GME，
∴$\frac{DE}{PE}$=$\frac{EG}{EM}$，
在Rt△MGE中，a²=（t-a）²+[$\frac{2}{3}$（t²-5t）]²，
∴a=$\frac{2}{9}$t³-$\frac{20}{9}$t²+$\frac{109}{18}$t，
∴EM=t-a=-$\frac{2}{9}$t³+$\frac{20}{9}$t²-$\frac{91}{18}$t，
∴$\frac{t}{{t}^{2}-5t}$=$\frac{\frac{2}{3}（{t}^{2}-5t）}{-\frac{2}{9}{t}^{3}+\frac{20}{9}{t}^{2}-\frac{91}{18}t}$，
整理得到16t²-160t+391=0，
解得t=$\frac{23}{4}$或$\frac{17}{4}$（舍弃），
∴点P坐标（$\frac{23}{4}$，$\frac{57}{16}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，计算比较复杂，属于中考压轴题．