Question

推理证明：如图1，在正方形ABCD和正方形CGFE中，连结DE、BG，设△DCE的面积为S₁，△BCG的面积为S₂，求证：S₁=S₂．

猜想论证：如图2，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连结DE、BG，设△DCE的面积为S₁，△BCG的面积为S₂，猜想S₁、S₂的数量关系，并加以证明．

拓展探究：如图3，在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=30°，把△ABC沿AC翻折到△ACE，过点A作AD∥CE交BC于点D，在线段CE上存在点P，使△ABP的面积等于△ACD的面积，请你直接写出CP的长．

Answer 1

证明：如图1，过点E作EM⊥DC于M点，过点G作GN⊥BC交BC的延长线于N点，

∴∠EMC=∠N=90°，

∵四边形ABCD和四边形ECGF为正方形，

∴∠BCD=∠DCN=∠ECG=90°，CB=CD，CE=CG，

∴∠1=90°﹣∠2，∠3=90°﹣∠2，

∴∠1=∠3．

在△CME和△CNG中

∴△CME≌△CNG（ASA）．

∴EM=GN．

又∵S₁=CD•EM，S₂=CB•GN，

∴S₁=S₂；

猜想论证：

猜想：S₁=S₂，

证明：如图2，过点E作EM⊥DC于M，过点B作BN⊥GC交GC的延长线于点N，

∴∠EMC=∠N=90°，

∵矩形CGFE由矩形ABCD旋转得到的，

∴CE=CB，CG=CD，

∵∠ECG=∠ECN=∠BCD=90°，

∴∠1=90°﹣∠2，∠3=90°﹣∠2，∴∠1=∠3．

在△CME和△CNB中

∴△CME≌△CNB（ASA）．

∴EM=BN．  

又∵S₁=CD•EM，S₂=CG•BN，

∴S₁=S₂；

拓展探究：cm或cm．

证明：如图3，作DM⊥AC于M，延长BA，交EC于N，

∵AB=AC=10cm，∠B=30°，

∴∠ACB=∠ABC=30°，

∴∠BAC=120°，

根据对折的性质，∠ACE=∠ACB=30°，

∵AD∥CE，

∴∠DAC=∠ACE=30°，

∴∠BAD=90°，DM=AD，

∴BN⊥EC，

∵AD=tan∠ABD•AB，AB=10cm，

∴AD=tan30°×10=，

∴DM=×=，

∵S_△ABP=AB•PN，S_△ADC=AC•DM，S_△ABP=S_△ADC，AB=AC，

∴PN=DM=，

在RT△ANC中∠ACN=30°，AC=10cm，

∴NC=cos∠ACN•AC=cos30°×10=5，

∵在EC上到N的距离等于的点有两个，

∴P′C=cm，P^″C=cm，

∴CP的长为：cm或cm．