Question

【题目】如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，且．

（1）求点的坐标；

（2）求二次函数的解析式；

（3）作直线，问抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为(6，0)；（2）二次函数的解析式为；（3）点M的坐标为或

【解析】

（1）由条件可知OC＝6，根据OB＝OC，可求出点B的坐标；
（2）将B，C两点的坐标代入y＝ax2＋b，求出a，b的值，即可求得二次函数的解析式；
（3）根据题意，分M在BC上方和下方两种情况进行解答，画出相应的图形，然后根据二次函数的性质和锐角三角函数可以求得点M的坐标．

解：（1）∵C(0，－6)

∴

∵

∴

∴点B的坐标为(6，0)

（2）∵抛物线（≠0）经过点C(0，－6)和点B(6，0)，

∴，解得

∴该二次函数的解析式为

（3）存在

①若点M在BC上方，设MC交轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°．

∴∠OCD=30°.

∴设OD=，则CD=2.

∵在Rt△OCD中，∠COD=90°，OC=6，

∴,

即，

解得（舍），.

∴点D的坐标为(，0).

设直线DC的函数解析式为

∴，解得

∴直线DC的函数解析式为

∴，解得（舍），

∴(,12)

②若点M在BC下方，设MC交轴于点E，则∠OEC=45°－15°=30°．

∵OC=6，则CE=12.

∵在Rt△OCE中，∠COE=90°，

∴=108,∴.

∴点E的坐标为(，0).

设直线EC的函数解析式为，

∴，解得

∴直线EC的函数解析式为

∴，解得（舍），.

∴

综上所述，点M的坐标为或.