Question

【题目】如图乙，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点为射线，的交点．

（1）如图甲，将绕点旋转，当、、在同一条直线上时，连接、，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个 ；（回答直接写序号）

①；②；③；④

（2）若，，把绕点旋转．

①当时，求的长；

②直接写出旋转过程中线段的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）①②③；（2）①或；②长的最小值是，最大值是．

【解析】

(1)①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°，进而得出结论；③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠ABD=∠ACE就可以得出结论；④△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2，BC2=2AB2，就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出结论．

(2)①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB-AE=3，由△PEB∽△AEC，得，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=9，解法类似；

②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小，分别求出PB即可．

(1)解：如图甲：

①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∴①正确；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠AFB=90°，
∴∠ACE+∠AFB=90°．
∵∠DFC=∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC=90°，
∴∠FDC=90°．
∴BD⊥CE，∴②正确；
③∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，∴③正确；
④∵BD⊥CE，
∴BE2=BD2+DE2，
∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴DE2=2AD2，BC2=2AB2，
∵BC2=BD2+CD2≠BD2，
∴2AB2=BD2+CD2≠BD2，
∴BE2≠2(AD2+AB2)，∴④错误．
故答案为①②③．

(2)①解：a．如图2中，当点在上时，．

∵，

∴，

同(1)可证，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

b．如图3中，当点在延长线上时，,

∵，

∴，

同(1)可证，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，综上，或；

②解：a．如图4中，以为圆心为半径画圆，当在下方与相切时，的值最小．

理由：此时最小，由(1)可知是直角三角形，斜边为定值，最小，因此最小，

∵，

∴，

由(1)可知，，

∴，，

∴，且AD=AE=3，

∴四边形是正方形，

∴，

∴；

b．如图5中，以为圆心为半径画圆，当在上方与相切时，的值最大．

理由：此时最大，因此最大，(同理，是直角三角形，斜边为定值，最大，因此最大)

∵，

∴，

由(1)可知，，

∴，，

∴，且AD=AE=3，

∴四边形是正方形，

∴，

∴．

综上所述，长的最小值是，最大值是．