Question

9．已知关于x的一元二次方程x²-6x+k=0．
（1）当它有两个实数根时，求k的范围；
（2）当k=-11时，假设方程两根是x₁，x₂，求x₁²+x₂²+8的值．

Answer 1

分析 （1）根据关于x的一元二次方程x²-6x+k=0有两个实数根，可得△≥0，从而可以得到k的范围；
（2）根据k=-11，方程两根是x₁，x₂，可以得到两根之和与两根之积，从而可以得到x₁²+x₂²+8的值．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-6x+k=0，
∴当它有两个实数根时，△=（-6）²-4×1×k≥0，
解得，k≤9，
即k的取值范围是k≤9；
（2）∵k=-11，
∴x²-6x-11=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{-6}{1}=6，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-11}{1}=-11$，
∴x₁²+x₂²+8=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+8$=6²-2×（-11）+8=66，
即x₁²+x₂²+8的值是66．

点评 本题考查根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是明确根的判别式△的取值不同，根的情况也不同和根与系数的关系，巧妙变化得到所求问题需要的条件．