Question

如图1，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2）量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°再将这两张三角形纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）．

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮忙解决．
（1）将图3中的△ABC沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A₁F交DE于G，若DG=kEG，求k的值；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB₁交DE于点H，请证明：AH=DH．

Answer 1

【答案】分析：先根据含30°的直角三角形三边的关系得到FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=EF=5．
（1）根据平移的性质得到FC₁=BF，从而得到平移的距离；
（2）根据旋转的性质得∠AFA₁=30°，则∠A₁FD=60°，得到FG⊥CD，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到EG=EF，则可得到DG，从而求出k的值；
（3）根据折叠的性质得到B₁F=BF=EF，∠AB₁F=∠B=60°，则DB₁=AE，∠DB₁H=∠AEH=120°，易证△DB₁H≌△AEH，即可得到结论．
解答：解：∵AB=DE=10，∠A=∠D=30°，
∴FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=EF=5．

（1）如图4，FC₁=BF=5，
所以△ABC沿BD向右平移的距离为5；

（2）∵△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，
∴∠AFA₁=30°，
∴∠A₁FD=60°，
而∠D=30°，
∴FG⊥CD，
∴EG=EF=，
∴DG=10-=，
∴DG=3EG，
∴k的值为3；

（3）∵△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，
∴B₁F=BF=EF，∠AB₁F=∠B=60°，
∴DB₁=AE，∠DB₁H=∠AEH=120°，
而∠DHB₁=∠AHE，
在△DB₁H与△AEH中，
∵∠DB₁H=∠AEH，DB₁=AE，∠DHB₁=∠AHE，
∴△DB₁H≌△AEH，
∴AH=DH．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了平移和旋转的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．