Question

如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．
（1）求证：

AM

=

BN

；
（2）若C、D分别为OA、OB中点，则

AM

=

MN

=

NB

成立吗？

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连结OM、ON，如图，由AC=BD易得OC=OD，则根据“HL”证明Rt△OCM≌Rt△ODN，得到∠AOM=∠BON，于是根据圆心角、弧、弦的关系得到

AM

=

BN

；
（2）由于C、D分别为OA、OB中点，则可得到OC=

1

2

OM，OD=

1

2

ON，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OMC=30°，∠OND=30°，则∠MOC=∠NOD=60°，所以∠AOM=∠MON=∠BON，则利用圆心角、弧、弦的关系可得

AM

=

MN

=

NB

．

解答：（1）证明：连结OM、ON，如图，
∵AC=BD，
∴OA-AC=OB-BD，即OC=OD，
∵MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠OCM=90°，∠ODN=90°，
在Rt△OCM和Rt△ODN中，

OC=OD OM=ON

，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），
∴∠AOM=∠BON，
∴

AM

=

BN

；
（2）解：

AM

=

MN

=

NB

．理由如下：
∵C、D分别为OA、OB中点，
∴OC=

1

2

OA，OD=

1

2

OB，
∴OC=

1

2

OM，OD=

1

2

ON，
∴∠OMC=30°，∠OND=30°，
∴∠MOC=∠NOD=60°，
∴∠MON=60°，
∴∠AOM=∠MON=∠BON，
∴

AM

=

MN

=

NB

．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了全等三角形的判定与性质．