Question

17．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S_△CEF=2S_△ABE，其中结论正确的个数为（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S_△CEF和2S_△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，故①正确；
∵∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°，
∴∠AEB=75°，故②正确；
设EC=x，由勾股定理，得
EF=$\sqrt{2}$x，CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AG≠2GC，③错误；
∵CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，AG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$x
∴AB=AC•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x，
∴BE=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x-x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$x，
∴BE+DF=（$\sqrt{3}$-1）x，
∴BE+DF≠EF，故④错误；
∵S_△CEF=$\frac{1}{2}$x²，
S_△ABE=$\frac{1}{2}$×BE×AB=$\frac{1}{2}×$$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$x=$\frac{1}{4}$x²，
∴2S_△ABE═S_△CEF，故⑤正确．
综上所述，正确的有3个，
故选：B．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．