Question

10．如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，点G是BF的中点，连接EG．
（1）求证：EG∥BC；
（2）若△ACD∽△AEC，且AE•AD=16，AB=4$\sqrt{5}$，求EG的长．

Answer 1

分析 （1）先证明△ACE≌△AFE，然后可得到CE=EF，故此可证明EG是△FBC的中位线，从而可证明EG∥BC；
（2）由相似三角形的性质可知AC ²=AE•AD=16，从而可求得AC=4，然后在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC=8，最后依据三角形的中位线定理可求得EG=4．

解答 证明：（1）∵AD平分∠CAB，
∴∠CAE=∠FAE．
∵CE⊥AD，
∴∠CEA=∠FEA=90°．
在△ACE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠FAE}\\{AE=AE}\\{∠CEA=∠FEA=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△AFE． 
∴CE=FE． 
又∵G是BF的中点，
∴EG∥BC．
（2）∵△ACD∽△AEC，CE⊥AD，
∴∠ACD=∠AEC=90°，且$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}$．
∴AC ²=AE•AD=16．
∴AC=4．
在Rt△ABC中，AB=4$\sqrt{5}$，AC=4，由勾股定理得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{80-16}$=8．
∵EG是△FBC的中位线，
∴EG=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、三角形的中位线定理，证得EG是△FBC的中位线是解题的关键．