Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A,B两点，抛物线上另有一点 C在x轴下方，且使ΔOCA∽ΔOBC.

(1)求线段OC的长度;

(2)设直线BC与y轴交于点D，点C是BD的中点时，求直线BD和抛物线的解析式，

(3)在(2)的条件下，点P是直线BC下方抛物线上的一点，过P作于点E，作PF//AB交BD于点F，是否存在一点P，使得最大，若存在，请求出该最大值;若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）存在，.

【解析】

（1）由抛物线与x轴交于A,B两点，得OA=1，OB=3，由ΔOCA∽ΔOBC.，得，进而得到答案；

（2）由点C是BD的中点，OC=，得：a=，点C的坐标是：（ ，），再根据待定系数法，求出直线BD和抛物线的的解析式；

（3）由直线BD的解析式为：，得：∠OBD=30°，由，PF//AB，得PE=PF，，设P坐标为（m，），（ ），

点F的坐标为（，），求出PF关于m的函数解析式，即可求出的最大值.

（1）∵抛物线与x轴交于A,B两点，

∴A(1，0)，B(3，0)，即：OA=1，OB=3，

∵ΔOCA∽ΔOBC.，

∴ ，即：，

∴OC=；

（2）∵点C是BD的中点，

∴点C的坐标（ ，），

∵OC=，

∴，解得：a=或a=-（舍去）

∴抛物线的解析式为：，

即：

∴点C的坐标是：（ ，），

设直线BD的解析式为：y=kx+b，

把（ ，），（3，0）代入y=kx+b，

得：，解得：，

∴直线BD的解析式为：；

（3）存在，理由如下：

∵直线BD的解析式为：，

∴点D坐标为（0，），即：OD=，

∴tan∠OBD=，

∴∠OBD=30°，

∵，PF//AB，

∴∠PFE=∠OBD=30°，

∴PE=PF，

∴，

设P坐标为（m，），（ ），

则点F的坐标为（，），

∴PF=m-()==，

∴当m=时，PF的最大值=，此时，的最大值=.