Question

如图，△ABC内接于半径为2的⊙O，∠ABC=45°，∠ACB=60°，点D为

AB

的中点，点M、N分别是线段CD、AC上的动点，求MA+MN的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：

分析：连接OA，OC，过点A作AE⊥AC，交CD于点E，过点E作EA′⊥BC于点A′过点A′作A′N′⊥AC于点N′，则A′N′的长即为MA+MN的最小值；先求得AC=2

2

，然后根据解直角三角形即可求得A′N′=A′C•sin60°=2

2

×

3

2

=

6

，即MA+MN的最小值是

6

．

解答：解：连接OA，OC，
∵∠ABC=45°，OA=OC=2，
∴∠AOC=90°，
∴AC=

2OA2

=

2×4

=2

2

．
过点A作AE⊥AC，交CD于点E，过点E作EA′⊥BC于点A′过点A′作A′N′⊥AC于点N′，
∵点D为

AB

的中点，
∴CD为∠ACB的平分线，
∴点A与点A′关于直线CD对称，
∴A′N′的长即为MA+MN的最小值，AC=A′C=2

2

，
∵∠ACB=60°，
∴A′N′=A′C•sin60°=2

2

×

3

2

=

6

，即MA+MN的最小值是

6

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．