Question

如图，在正方形ABCD中，点P为BC边上任意一点，以AP为边作正方形APMN，F为正方形APMN的中心，连结BF，直接写出BF与CP的数量关系

 

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Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：连接AC、AF、PF、BQ，过P作PQ⊥AC于Q，根据正方形的性质求出∠BFP=∠BQP，∠FBP=∠QPB，根据全等三角形的判定推出两三角形全等，根据全等三角形的性质求出BF=PQ，根据等腰直角三角形性质即可得出答案．

解答：解：
连接AC、AF、PF、BQ，过P作PQ⊥AC于Q，
∵四边形ABCD是正方形，F为正方形APMN的中心，
∴∠ACB=∠APF=45°，∠AFP=∠ABC=90°，
∴A、F、B、P四点共圆，
∴∠ABF=∠ABF=45°，∠BFP=∠BAP，
同理∠ABP=∠AQP=90°，
∴∠ABP+∠AQP=180°，
∴∠BAP=∠BQP，
∴∠BFP=∠PQB，
∵PQ⊥AC，
∴∠QPC=∠ACB=45°，
∴∠FBP=∠QPB=90°+45°=135°，
在△FBP和△QPB中，

∠BFP=∠PQB ∠FBP=∠QPB BP=BP

∴△FBP≌△QPB（AAS），
∴BF=PQ，
∵∠PQC=90°，∠ACB=∠QPC=45°，
∴PQ=

2

2

CP，
∴BF=

2

2

CP，
故答案为：BF=

2

2

CP．

点评：本题考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．