Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．

（1）线段OC的长为 ；

（2）求证：△CBD≌△COE；

（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD，CE，设点E的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面积为S．

①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；

②在平移过程中，当S=时，请直接写出a的值．

Answer 1

【答案】(1)；(2)详见解析；（3）①S=﹣a+1；②当S=时，a=或．

【解析】

试题分析：（1）由点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），根据勾股定理求得AB的长，再由点C为边AB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OC的长；（2）由四边形OBDE是正方形，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易得BD=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可证得：△CBD≌△COE；（3）①首先根据题意画出图形，然后过点C作CH⊥D1E1于点H，可求得△CD1E1的高与底，继而求得答案；

②分别从1＜a＜2与a＞2去分析求解即可求得答案．

试题解析：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），

∴OA=4，OB=1，

∵∠AOB=90°，

∴AB=，

∵点C为边AB的中点，

∴OC=AB=；

（2）证明：∵∠AOB=90°，点C是AB的中点，

∴OC=BC=AB，

∴∠CBO=∠COB，

∵四边形OBDE是正方形，

∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，

∴∠CBD=∠COE，

在△CBD和△COE中，

，

∴△CBD≌△COE（SAS）；

（3）①解：过点C作CH⊥D1E1于点H，

∵C是AB边的中点，

∴点C的坐标为：（2，）

∵点E的坐标为（a，0），1＜a＜2，

∴CH=2﹣a，

∴S=D1E1CH=×1×（2﹣a）=﹣a+1；

②当1＜a＜2时，S=﹣a+1=，

解得：a=；

当a＞2时，同理：CH=a﹣2，

∴S=D1E1CH=×1×（a﹣2）=a﹣1，

∴S=a﹣1=，

解得：a=，

综上可得：当S=时，a=或．