Question

4．如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，图象经过点A（-3，0）对称轴为直线x=-1，给出以下5个结论：①abc＞0；②b²＞4ac；③2a+b=0；④a+bc＞0；⑤若点B（-$\frac{5}{2}$，y₁），C（-$\frac{1}{2}$，y₂）为函数图象上的两点，则y₁＜y₂．其中正确的序号为①②⑤．

Answer 1

分析 根据抛物线开口向下可知a＜0，再由图象的对称轴为直线x=-1可知-$\frac{b}{2a}$＜0，故可得出b＜0，再由抛物线与y轴的交点在y轴正半轴可知c＞0，进而可对①作出判断；根据抛物线与x轴有两个交点可对②作出判断；根据抛物线的对称轴为直线x=-1可对③作出判断；利用a表示出bc的值，再由a＜0可对④作出判断；再由-$\frac{5}{2}$与-$\frac{1}{2}$距离对称轴的远近可判断出y₁与y₂的大小．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵函数图象的对称轴为直线x=-1，
∴-$\frac{b}{2a}$＜0，
∴b＜0．
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，即b²-4ac＞0，
∴b²＞4ac．
∴②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b-2a=0，
∴③错误；
∵图象经过点A（-3，0）对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），
∴a+b+c=0，b=2a，
∴c=-3a，
∴a+bc=a-6a²，
∵a＜0，6a²＞0，
∴a-6a²＜0，即a+bc＜0，
∴④错误；
∵-$\frac{5}{2}$距离对称轴比-$\frac{1}{2}$距离对称轴远，
∴y₁＜y₂，
∴⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．