题目内容

观察下列成立的式子： $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ …
（1）则第n个算式为=．
（2）如果将上列式子左右相加得：
$数学公式$ $数学公式$ 根据这个结果，则请你直接写出下列式子的结果：① $数学公式$ =；
② $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ =；
（3）探究并计算 $数学公式$ ．

解：（1）观察给出的式子可知：第n个算式为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （n为正整数）；

（2）① $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ；

（3） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先总结出通项公式 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （n为正整数）；
（2）先拆分，再进行分式的加减运算；
（3）先将分母变形为n（n+1）的形式，再拆分，最后进行分式的加减运算．
点评：本题是一个找规律的题目，考查了分式的加减，找出通项公式是解题的关键．