Question

观察下列成立的式子：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

…
（1）则第n个算式为

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n为正整数）

．
（2）如果将上列式子左右相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

5

=1-

1

5

=

4

5

根据这个结果，则请你直接写出下列式子的结果：①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

=

2008

2009

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

=

n

n+1

；
（3）探究并计算

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

．

Answer 1

分析：（1）先总结出通项公式

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n为正整数）；
（2）先拆分，再进行分式的加减运算；
（3）先将分母变形为n（n+1）的形式，再拆分，最后进行分式的加减运算．

解答：解：（1）观察给出的式子可知：第n个算式为

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n为正整数）；

（2）①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2008

-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+

1

7×8

+

1

8×9

+

1

9×10

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

．
故答案为：

2008

2009

；

n

n+1

．

点评：本题是一个找规律的题目，考查了分式的加减，找出通项公式是解题的关键．