Question

7．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC=3，BC=4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）利用等角的余角相等即可证明．
（2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可．
②由△DCA∽△DBC，得$\frac{DC}{DB}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{DA}{CD}$=$\frac{3}{4}$，再由△DCE∽△DBF，得$\frac{EC}{BF}$=$\frac{DC}{DB}$，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠DCO=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵AB是直径，
∴∠1+∠B=90°，
∴∠3=∠B．
（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，
∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴tan∠CFE=tan45°=1．
②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，
∴△DCA∽△DBC，
∴$\frac{DC}{DB}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{DA}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，
∴△DCE∽△DBF，
∴$\frac{EC}{FB}$=$\frac{DC}{DB}$=$\frac{3}{4}$，设EC=CF=x，
∴$\frac{x}{4-x}$=$\frac{3}{4}$，
∴x=$\frac{12}{7}$．
∴CE=$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．