Question

如图，现有一张正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点C落在P处，点B落在O处，OP交AB于Q，折痕为MN，连接CP．
（1）求证：∠CPD=∠CPQ；
（2）当点P在边AD上移动时，试判断DP+BQ的长与PQ的长是否相等？并说明理由．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,正方形的性质

专题：几何图形问题,几何动点问题

分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PCB=∠CPQ，进而利用平行线的性质得出∠CPD=∠PCB即可得出答案；
（2）首先AAS证明△CDP≌△CEP，进而HL得出△CEQ≌△CBQ，即可得出DP+BQ=PQ．

解答：（1）证明：由翻折变换的性质得出∠PCB=∠CPQ．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠CPD=∠PCB．
∴∠CPD=∠CPQ．

（2）证明：过C作CE⊥PO，垂足为E，
由（1）知，∠CPD=∠CPQ，
在△CDP和△CEP中，

∠D=∠CEP=90° ∠CPD=∠CPQ CP=CP

，
∴△CDP≌△CEP（AAS），
∴CD=CE，DP=EP，
∴BC=EC．
又∵∠B=∠CEQ=90°，
∴△CEQ和△CBQ是直角三角形，
在Rt△CEQ与Rt△CBQ中，

BC=EC CQ=CQ

，
∴Rt△CEQ≌Rt△CBQ（HL），
∴EQ=BQ，
∴DP+BQ=PQ．

点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．