Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是BM，CM的中点．

(1)求证：四边形MENF是菱形；

(2)当四边形MENF是正方形时，求证：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵四边形ABCD为等腰梯形 　　∴AB＝CD，∠A＝∠D　1分 　　∵M为AD的中点 　　∴AM＝DM 　　∴△ABM≌△DCM　2分 　　∴BM＝CM　3分 　　∵点E，F，N分别是BM，CM，BC的中点 　　∴EN＝CM，FN＝BM，ME＝BM，MF＝CM 　　∴EN＝FN＝FM＝EM 　　∴四边形MENF是菱形　4分 　　(2)连结MN　5分 　　∵BM＝CM，BN＝CN 　　∴MN⊥BC 　　∵AD∥BC 　　∴MN⊥AD 　　∴MN是梯形ABCD的高　6分 　　又∵四边形MENF是正方形 　　∴△BMC为直角三角形　7分 　　又∵N是BC的中点 　　∴MN＝BC 　　即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半　8分