Question

18．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得∠OCD+∠CFO=90°，而∠EFD=∠FDE，则∠CDO+∠CDE=90°，从而证得GE是⊙O的切线．
（2）先求得EF=1，设DE=EF=x，则OF=x+1，在Rt△ODE中，根据勾股定理求得DE=4，OE=5，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，根据相似三角形对应边成比例即可求得．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∵OC⊥AB，
∴∠COF=90°，
∴∠OCD+∠CFO=90°，
∴∠ODC+∠CFO=90°，
∵∠EFD=∠FDE，∠CFO=∠EFD，
∴∠CDO+∠CDE=90°，
∴GE为⊙O的切线；
（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，
∴OF=1，
∵∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，
∵OD²+DE²=OE²，
∴3²+x²=（x+1）²，解得x=4，
∴DE=4，OE=5，
∵AG为⊙O的切线，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
而∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴$\frac{OD}{AG}$=$\frac{DE}{AE}$，即$\frac{3}{AG}$=$\frac{4}{3+5}$，
∴AG=6．

点评 本题考查了切线的判定、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．