Question

19．如图，己知AB=8，以AB为斜边作Rt△ABC，∠ACB=90°，过点C作AB的平行线，再过点A作AB的垂线，使两线相交于点D．设AC=x，DC=y；则（x-y）的最大值是2．

Answer 1

分析 根据已知条件CD∥AB，得到∠DCA=∠BAC，∠D=∠BAD=90°，推出△ACD∽△ABC，得到方程$\frac{y}{x}=\frac{x}{8}$，求出二次函数的解析式y=$\frac{1}{8}$x²，当（x-y）取最大值时，即-$\frac{1}{8}$x²+x取最大值，于是得到（x-y）的最大值是2．

解答 解：∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，∠D=∠BAD=90°，
∴∠D=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∵AB=8，AC=x，CD=y，
∴$\frac{y}{x}=\frac{x}{8}$，
∴y=$\frac{1}{8}$x²，
当（x-y）取最大值时，
即-$\frac{1}{8}$x²+x取最大值，
∴（x-y）的最大值是2．
故答案为：2．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，根据比例式求得二次函数的解析式是解题的关键．