Question

如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30^。，∠APB=60^。。
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长。

Answer 1

.解：（1）连接OB              ∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30。             ∴∠AOB=180。-30。-30。=120。              ∵PA切⊙O于点A             ∴OA⊥PA，             ∴∠OAP=90。              ∵四边形的内角和为360。 ∴∠OBP=360。-90。-60°-120。=90。           ∴OB⊥PB 又∵点B是⊙O上的一点 ∴PB是⊙O的切线     （2）连接OP             ∵ PA、PB是⊙O的切线，              ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30。            在Rt△OAP中，∠OAP=90。，∠OPA=30。 ∴OP=2OA=2×2=4            ∴PA=            ∵PA=PB，∠APB=60。                ∴PA=PB=AB=2