Question

已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO=MA．二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出根据OA垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段AM的长；
（2）二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A、M．待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）可设D（n，n+3），根据菱形的性质得出C（n，n^2_ n+3）且点C在二次函数y=x^2_ x+3上，得到方程求解即可．
解答：解：（1）在一次函数y=x+3中，
当x=0时，y=3．
∴A（0，3）．
∵MO=MA，
∴M为OA垂直平分线上的点，
可求OA垂直平分线上的解析式为y=，
又∵点M在正比例函数，
∴M（1，），
又∵A（0，3）．
∴AM=；

（2）∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A、M．可得
，
解得．
∴y=x²-x+3；

（3）∵点D在一次函数的图象上，
则可设D（n，n+3），
设B（0，m），（m＜3），C（n，n²-n+3）
∵四边形ABDC是菱形，
∴|AB|=3-m，|DC|=|y_D-y_C|=|n+3-（n^2_n+3）|=|n-n²|，
|AD|==|n|，
∵|AB|=|DC|，
∴3-m=n-n²，①，
∵|AB|=|DA|，
∴3-m=n，②
解①②得，n₁=0（舍去），n₂=2，
将n=2，代入C（n，n^2_n+3），
∴C（2，2）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线解析式的确定，两点的距离公式，菱形的性质，解二元一次方程，综合性较强，难度较大．