Question

33、如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．
（1）求证：BD=DE+CE；
（2）若直线AE绕点A旋转到图2位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何，请证明；
（3）若直线AE绕点A旋转到图3时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE，CE的关系怎样？请直接写出结果，不须证明．
（4）归纳（1），（2），（3），请用简捷的语言表述BD与DE，CE的关系．

Answer 1

分析：（1）根据AAS证明Rt△ABD≌Rt△ACE，得BD=AE；AD=CE．根据AE=AD+DE代换即可；
（2）显然关系不成立．同理证明Rt△ABD≌Rt△ACE，得BD=AE；AD=CE．此时DE=BD+CE；
（3）同（2）；
（4）根据前面证明的结论分类归纳．

解答：（1）证明：在△ABD和△CAE中，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
又∠4=∠5=90°，AB=AC，
∴△ABD≌△CAE．（AAS）    （3分）
∴BD=AE，AD=CE．
又AE=AD+DE，
∴AE=DE+CE，
即BD=DE+CE．             （4分）
（2）BD=DE-CE．           （5分）
证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
又∵BD⊥DE，∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
又AB=AC，∠ADB=∠CEA=90°，
∴△ADB≌△CEA．
∴BD=AE，AD=CE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD，
即 BD=DE-CE．                    （8分）
（3）同理：BD=DE-CE．            （9分）
（4）当点B、C在AE异侧时，BD=DE+CE；当点B、C在AE同侧时，BD=DE-CE．（12分）

点评：此题考查全等三角形的判定和性质，综合性较强．