Question

10．在正方形ABCD的对角线AC上取AE=AB，过E作AC的垂线交BC于F，求EF：AB的比值．

Answer 1

分析 连接CF，求证△AEF≌△ABF，可以求证EF=BF．进一步求证△CEF为等腰直角三角形，得出EF=CE，即可证得CF=$\sqrt{2}$EF，得出AB=BC=（$\sqrt{2}$+1）EF，从而求得EF：AB的比值．

解答 解：连接AF，
在Rt△AEF和Rt△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF，
∴EF=BF；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB=45°，
在Rt△CEF中，则∠CFE=45°，
∴∠ECF=∠CFE，
∴CE=EF，
∴CE=EF=BF，
∴CF=$\sqrt{2}$EF，
∴AB=BC=（$\sqrt{2}$+1）EF，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接CF，并且求证Rt△CEF≌Rt△CDF是解本题的关键．