Question

9．如图，每个小方格的边长都为1．
（1）求证：∠ADC=90°；
（2）求图中格点四边形ABCD的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AD²、CD²的长，得出AD²+CD²=AC²，根据勾股定理的逆定理即可证明∠ADC=90°；
（2）由勾股定理求出AB、BC的长，由（1）得出AD、CD的长，将四边相加即可得出四边形ABCD的周长；根据四边形ABCD的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，列式计算即可．

解答 （1）证明：由勾股定理得：AD²=1²+2²=5，CD²=4²+2²=20，
∴AD²+CD²=5+20=25，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°；
（2）解：由勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵AD²=5，CD²=20，
∴AD=$\sqrt{5}$，CD=2$\sqrt{5}$，
∴四边形ABCD的周长=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$+2$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$+3$\sqrt{5}$；
四边形ABCD的面积=5×5-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×1=12.5．

点评 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形和四边形面积的计算；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．