Question

7．定义：到三角形两边距离相等的点叫做三角形的准内心．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P△ABC的准内心（不包括顶点），且点P在△ABC的边上，则CP的长为$\frac{24}{7}$或$\frac{8}{3}$或$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 分三种情形①点P在AB边上，②点P在AC边上，③点P在BC边上，分别讨论计算即可．

解答 解：
如图3中，

当点P在AB边上时，∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵点P是△ABC的准内心，
∴∠PCB=∠PCA=45°，
∴PC=$\frac{24}{7}$；
如图4中，当点P在AC边上时，作PE⊥AB于E，设PE=x，

∵点P是△ABC的准内心，
∴∠PBA=∠PBC，
∵PE⊥AB，PC⊥BC，
∴PE=PC=x，BE=BC=8，
∴AE=2，
∴2²+x²=（6-x）²，
解得：x=$\frac{8}{3}$；
如图5中，

当点P在BC边上时，同理可得PC=$\frac{5}{3}$；
故答案为：$\frac{24}{7}$或$\frac{8}{3}$或$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查角平分线的性质、勾股定理、三角形的准内心的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，属于中考常考题型．