Question

如图，在正方形ABCD中，E，F是BD上的两点，且BE=DF．
（1）四边形AECF是什么四边形？请证明．
（2）若EF=4，DE=BF=2，求四边形AEBF的周长．

Answer 1

考点：正方形的性质,菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形，AO=CO，EO=FO，AC⊥EF即可证得．
（2）根据正方形性质得出AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD，根据已知得出AC=BD=8，OA=OD=4，OE=2，然后根据勾股定理即可求得AE的值，进而求得四边形AEBF的周长．

解答：（1）答：四边形AECF为菱形．
证明：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD=OB，OA=OC，BD⊥AC，
∵BE=DF，
∴DE=BF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF为菱形．

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD，
∵EF=4，DE=BF=2，
∴AC=BD=8，OA=OD=4，
∴OE=2，
在RT△AOE中，AE=

OA2+OE2

=

42+22

=2

5

，
∴四边形AEBF的周长=4×2

5

=8

5

．

点评：本题考查了正方形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形的判定以及勾股定理的应用，本题中证明AC与EF互相垂直平分是解题的关键．