Question

13．四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点H是BF的中点，连接HA，HG．
（1）若三点B、D、F在同一直线上，如图1，探索HA、HG的数量和位置关系，并给予证明；
（2）如图2，若三点B、D、F不在同一直线上，那么（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长AH，FE交于点M，连接GM，AG，根据正方形的性质得到AB=AD，∠ADB=∠GDF=∠ABD=∠DFE=45°，得到∠ADG=90°，推出△ABH≌△HMF，根据全等角形的性质得到AB=MF，AH=HM，等量代换得到AD=MF，推出△AGD≌△GMF，
由全等三角形的性质得到AG=GM，∠AGD=∠FGM，于是得到∠AGM=90°，推出△AGM是等腰直角三角形，即可得到结论；
（2）如图2，延长AH到M使HM=AH，连接AG，FM，GM，FM交DE于K，通过△ABH≌△HMF，得到AB=MF，AH=HM，∠ABH=∠HFM，证得AD=MF，AB∥FM，推出∠DKM=∠ADG，根据平行线的性质得到∠GFM=∠DKM，等量代换得到∠ADG=∠GFM，证得△AGD≌△GMF，由全等三角形的性质得到AG=GM，∠AGD=∠FGM推出△AGM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，延长AH，FE交于点M，连接GM，AG，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AB=AD，∠ADB=∠GDF=∠ABD=∠DFE=45°，
∴∠ADG=90°，
在△ABH与△HMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB=∠MHF}\\{BH=FH}\\{∠ABH=∠HFM}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△HMF，
∴AB=MF，AH=HM，
∴AD=MF，
在△AGD与△GMF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=MF}\\{∠ADG=∠GFM=90°}\\{DG=DE}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△GMF，
∴AG=GM，∠AGD=∠FGM，
∵∠FGM+∠DGM=90°，
∴∠AGD+∠DGM=90°，
∴∠AGM=90°，
∴△AGM是等腰直角三角形，
∴AH=HG，GH⊥AM；

（2）（1）中的结论仍然成立，
理由：如图2，延长AH到M使HM=AH，连接AG，FM，GM，FM交DE于K，
在△ABH与△HMF中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=HM}\\{∠AHB=∠FHM}\\{BH=FH}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△HMF，
∴AB=MF，AH=HM，∠ABH=∠HFM，
∴AD=MF，AB∥FM，
∴FM∥CD，
∴∠MKD+∠CDE=180°，
∵∠ADG+∠CDE=180°，
∴∠DKM=∠ADG，
∵GF∥DE，
∴∠GFM=∠DKM，
∴∠ADG=∠GFM，
在△AGD与△GMF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=MF}\\{∠ADG=∠GFM}\\{DG=DE}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△GMF，
∴AG=GM，∠AGD=∠FGM，
∵∠FGM+∠DGM=90°，
∴∠AGD+∠DGM=90°，
∴∠AGM=90°，
∴△AGM是等腰直角三角形，
∴AH=HG，GH⊥AM．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．